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sexta-feira, 14 de maio de 2010

Correias e Polias

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correias Introdução

Correias e polias são um dos meios mais antigos de transmissão de movimentos. São simples, o custo é baixo, a durabilidade é boa se adequadamente dimensionadas, reduzem significativamente a propagação de choques e vibrações, operam silenciosamente, limitam sobrecargas pela ação do deslizamento.
Por essas e outras particularidades, são extensivamente empregadas. De pequenos aparelhos eletrônicos até um sem número de equipamentos industriais.
Esta página procura dar informações teóricas e práticas sobre este tipo de transmissão, considerando apenas correias lisas, isto é, as que operam devido às forças de atrito com os materiais das polias (há também as correias dentadas, que operam por arraste de forma similar às correntes).

Relações básicas

A Figura 01 deste tópico dá o arranjo típico de um acionamento comum por correia.
A polia 1 tem diâmetro D1 e gira com velocidade angular ω1. E a polia 2 tem diâmetro D2 e gira com velocidade angular ω2.
Desde que a correia é supostamente inextensível, a velocidade tangencial v é a mesma em qualquer ponto. Da relação entre velocidade tangencial e angular (v = ωR) do movimento circular,
Figura 1
v = ω1 D1/2 = ω2 D2/2.

Simplificando, obtém-se a relação básica de velocidades angulares:

ω1 / ω2 = D2 / D1 #A.1#.

Em algumas referências, é comum expressar a velocidade angular em termos de rotação por minuto (rpm), simbolizada por n, em vez de radiano por segundo, que é a unidade básica do Sistema Internacional. Lembrar a relação rpm = (π / 30) rad/s. Mas a fórmula anterior é, naturalmente, a mesma. Ocorre apenas uma mudança de símbolos:

n1 / n2 = D2 / D1 #A.2#.

Desde que o movimento se transmite pela ação de forças de atrito, a correia deve estar previamente tracionada. Na prática isso é feito com auxílio de parafusos, molas, contrapesos ou outros meios. Na situação estática, ocorre então a mesma força de tração em ambos os lados Fa = Fb = F.
Supõe-se agora que o conjunto está em movimento e que a polia 2 é a motora e a polia 1 é a acionada. Se uma potência é transmitida, a polia 1 oferece resistência ao giro e, no sentido de rotação da figura, a força de tração inferior Fb aumenta e superior Fa diminui. Mas, de qualquer forma e considerando que a parte superior se mantém tracionada, a soma permanece constante, ou seja,

Fa + Fb = 2 F = constante #B.1#.

Das relações da Dinâmica, a potência transmitida em um movimento circular é o produto do torque pela velocidade angular

P = τ ω.

Considerando uma polia genérica, o torque é τ = (Fb − Fa) D / 2. Combinando as igualdades, obtém-se a potência transmitida:

P = (ω D / 2) (Fb − Fa) #C.1#.

O comprimento da correia do arranjo da Figura 01 pode ser calculado por uma fórmula aproximada (a dedução é simples e aqui não é dada):

L ≈ 2 C + 1,57 (D2 + D1) + (D2 − D1)2 / (4 C) #D.1#.


Relações básicas de atrito

Na Figura 01 abaixo, é representada uma porção infinitesimal, limitada pelo ângulo dφ na polia, de uma correia, supostamente de seção retangular de espessura pequena em relação às demais dimensões. As forças atuantes nessa porção de correia são:
  • F e F + dF (tração da correia).
  • FN (força normal exercida devido ao contato com a polia).
  • FC (força centrífuga devido à rotação).
Calcula-se agora a resultante das forças no sentido tangencial (horizontal na figura), que é denominada Rx.
Figura 2
Rx = (F + dF)x − Fx.

Consideram-se as relações trigonométricas:

(F + dF)x = (F + dF) cos (dφ/2).
Fx = F cos(dφ/2).

Sendo dφ um ângulo infinitesimal, o co-seno de (dφ/2) é aproximado para a unidade. Com isso, chega-se facilmente a

Rx = dF #A.1#.

No sentido radial (vertical na figura), a resultante deve ser nula porque não há movimento ao longo do mesmo.

Portanto Ry = FN + FC − Fy − (F + dF)y = 0. E valem as relações trigonométricas

Fy = F sen (dφ/2) e (F + dF)y = (F + dF) sen (dφ/2).

Desde que φ é pequeno, pode-se supor sen (dφ/2) = dφ/2.

Fy = F dφ/2.

(F + dF)y = (F + dF) (dφ/2) = F dφ/2 + dF dφ/2 = F dφ/2

(porque o produto das duas infinitesimais é desprezado).
Substituindo na anterior,

FN + FC − F dφ = 0 ou FN = F dφ − FC #B.1#.

Calcula-se agora o valor de FC (é usado o conceito de força centrífuga porque a referência é a polia). Nas relações da dinâmica, pode ser visto que a intensidade é a mesma da força centrípeta de uma massa m em movimento circular uniforme de raio r e velocidade angular ω:

FC = m ω2 r.

Considerando S a área da seção transversal da correis e me a massa específica do material da mesma, vale para a porção infinitesimal conforme Figura 01: 

m = me S r dφ.

Portanto,

FC = S me r2 ω2 dφ #C.1#.
Figura 3
De acordo com os conceitos de forças de atrito, a força tangencial Rx deve ser igual ao produto da força normal FN pelo coeficiente de atrito entre a correia e a polia (μ): Rx = μ FN. Combinando essa igualdade com as anteriores (#A.1#, #B.1# e #C.1#),

Rx = dF = μ FN = μ F dφ − μ S me r2 ω2 dφ #C.2#.

dF / (F − S me r2 ω2) = μ dφ.

Essa equação diferencial pode ser facilmente resolvida para um intervalo genérico φ conforme Figura 02. O resultado é

(Fb − S me r2 ω2) / (Fa − S me r2 ω2) = eμφ #D.1#.
Figura 4
Portanto, essa equação representa, considerando os demais parâmetros constantes, a relação máxima entre as forças Fb e Fa que a correia pode operar sem deslizamento.
Notar que, numa transmissão comum de correia e duas polias com o mesmo coeficiente de atrito, o deslizamento (se ocorrer) começa sempre pela polia menor porque o ângulo φ é menor. Isso pode ser facilmente observado na prática.
Se é desprezada a força centrífuga ou a situação é estática (ω = 0), a equação anterior fica simplificada:

Fb / Fa = eμφ #E.1#.

E a fórmula também pode ser aplicada a cordas ou cabos em torno de cilindros ou tambores. Desde que a relação entre forças aumenta exponencialmente com o ângulo, no caso de várias voltas conforme esquema da Figura 03, a diferença entre elas é grande, o que pode ser na prática observado em amarras de barcos e em situações similares.

 

Potência transmitida

Do tópico Relações básicas, a igualdade para a potência é

P = (ω D / 2) (Fb − Fa).

Do tópico Relações básicas de atrito,

(Fb − S me r2 ω2) / (Fa − S me r2 ω2) = eμφ.

Para simplificar, pode-se considerar o termo

S me r2 ω2 igual à parcela de força centrífuga FC. Assim,

(Fb - FC) / (Fa − FC) = eμφ #A.1#.

Na primeira igualdade, somando e subtraindo FC,

P = (ω D / 2) [ (Fb − FC) − (Fa - FC) ] = (ω D / 2) (Fb − FC) [1 - (Fa − FC)/(Fb − FC)].

Combinando com a anterior,

P = (ω D / 2) (Fb − FC) (1 − e−μφ) onde FC = S me r2 ω2 #B.1#.

A tabela a seguir dá um resumo dos parâmetros, lembrando que a fórmula é válida para correias de seção retangular (também denominadas correias planas).
ω: velocidade angular da polia D: diâmetro da polia
Fb: tração no lado mais tenso da correia μ: coeficiente de atrito entre polia e correia
φ: ângulo de contato da correia com a polia S: área da seção transversal da correia
me: massa específica do material da correia r: raio da polia (= D/2)

Notar que o produto S me na fórmula da força centrífuga equivale à massa por unidade de comprimento da correia, que é simbolizado por ρ. Algumas vezes é denominada densidade linear. Portanto,

FC = S me r2 ω2 = ρ r2 ω2 = ρ v2 #C.1#.

Onde ρ = S me conforme mencionado e v é a velocidade tangencial ( = ω r conforme relação básica do movimento circular uniforme).

Exemplo de cálculo:

Seja uma transmissão comum de correia plana, com a polia menor na condição motora conforme Figura 01 abaixo. O material da correia tem massa específica 1500 kg/m3 e a seção transversal da mesma é 500 mm2. Portanto, a densidade linear é ρ = 500 10−6 1500 = 0,75 kg/m.
Figura 1
A polia tem diâmetro 10 cm e gira com 1800 rpm. Portanto,

D = 0,1 m e raio r = D/2 = 0,05 m.
ω = 1800 π / 30 ≈ 188,5 rad/s.

Velocidade tangencial v = ω r ≈ 188,5 0,05 = 9,425 m/s.

Com esses dados, a força centrífuga pode ser calculada
FC = 0,75 9,4252 ≈ 66,6 N.

Supõe-se que o ângulo de contato é φ = 165º = 165 π / 180 ≈ 2,88 rad e que o coeficiente de atrito entre os materiais da polia e da correia é μ = 0,35. Considera-se também que a força máxima de tração admissível na correia é 
Fb= 600 N. É possível então determinar a potência máxima que pode ser transmitida conforme #B.1#:

P = (188,5 0,1/2) (600 − 66,6) (1 − e−0,35 2,88) = 9,425 533,4 0,635 ≈ 3,19 kW.

Da igualdade #A.1#, (600 − 66,6) / (Fa − 66,6) = e0,35 2,88 ≈ 2,74.

Assim, Fa ≈ 194,67 + 66,6 ≈ 261N.

E a força para a tensão inicial da correia pode ser dada pela igualdade #B.1# do tópico Relações básicas:

Fa + Fb = 2 F. Ou F = (Fa + Fb) / 2 = (261 + 600) / 2 = 430,5 N.


Potência versus velocidade

Na igualdade #B.1# do tópico anterior, a expressão (ω D / 2) é a velocidade tangencial v = ω r. E a força FC é dada por ρ v2 conforme visto no mesmo tópico.
Figura 1
Pode-se então escrever a relação entre potência transmitida e velocidade tangencial:

P = v (Fb − ρ v2) (1 − e−μφ) #A.1#.

Considerando os demais parâmetros constantes, pode-se traçar um gráfico da potência transmitida em relação à velocidade. A Figura 01 dá a curva para os valores do exemplo do tópico anterior.
Acima de uma determinada velocidade, o efeito da força centrífuga é predominante e a potência transmitida diminui.
Matematicamente, a velocidade vpmax correspondente à máxima potência transmitida é dada pela derivada nula da potência. Reagrupando a igualdade anterior, P = (v Fb − ρ v3) (1 − e−μφ). Assim,

dP/dv = (Fb − 3 ρ v2) (1 − e−μφ) = 0.

Desde que (1 − e−μφ) não é nulo, deve-se ter (Fb − 3 ρ v2) = 0.

Portanto, vpmax = √ [ Fb / (3ρ) ] #B.1#.

Dessa igualdade, Fb = 3 ρ vpmax2. Substituindo em #A.1#, o resultado é a fórmula da potência máxima

Pmax = 2 ρ vpmax3 (1 − e−μφ) #C.1#.

Exemplo de cálculo:

para o exemplo do tópico anterior, temos

vpmax = √ (600 / (3 0,75) ) ≈ 16,3 m/s e Pmax = 2 0,75 16,33 0,635 ≈ 4,1 kW.

Correias Trapezoidais ou V


As correias trapezoidais são muito utilizadas pois além do seu baixo custo, baixo ruído e de não necessitarem de rolos tensores,têm a vantagem de no caso de transmissão o por correias múltiplas, se ocorrer o rompimento de uma das correias a substituição não precisa ser imediata. Como existem mais correias, pode-se aguardar o melhor momento para a substituição sem atrapalhar a produção. Neste caso, a substituição deverá serfeita não só da correia rompida mas de todas porque as outras encontram-se deformadas e a nova poderá receber carga suficiente para parti-la.

  • As Correias
As correias são construídas com seção trapezoidal e contínua. Na figura vemos um corte mostrando os elementos que compõem a correia.
Como o próprio nome diz, as correias possuem uma seção (perfil) em forma de trapézio isósceles.

  • As Polias 
As polias possuem canais para encaixar as correias de acordo com seu perfil. O número de canais é variado podendo existir polias para apenas uma correia ou polias com 2, 3, 4 ou mais canais dependendo da necessidade.

Atrito para correia de seção trapezoidal

A correia de seção trapezoidal (ou simplesmente correia em V) é provavelmente o tipo mais usado na prática. A Figura 01 abaixo dá o esquema da ação das forças de atrito para uma seção de ângulo 2β entre faces (β entre uma face e a vertical).
Figura 1
Na determinação das relações de atrito vista na página anterior, consideram-se, entre outras, a ação de uma força normal FN sobre uma porção elementar da correia.
Desde que, na correia trapezoidal, o atrito ocorre na lateral, conclui-se, por relação trigonométrica simples, que a força normal atuante em cada lateral é
FN / (2 sen β). E, para as duas faces, FN / sen β.
No desenvolvimento das Relações básicas de atrito (#C.2#) substituiu-se FN por esse valor: dF = μ FN / sen β. Sem considerar a ação da força centrífuga, chega-se a

Fb / Fa = e(μ/sen β)φ #A.1#.

Comparando com a fórmula para correia plana sem considerar força centrífuga, Fb / Fa = eμφ, pode-se concluir que, para efeitos de atrito e considerando os mesmos materiais, a correia trapezoidal equivale à correia plana com coeficiente de atrito dado por

μ' = (μ / sen β) #B.1#.

Desde que sen β é menor que um, μ' > μ e isso justifica a preferência por correia trapezoidal na maioria das aplicações práticas.

 

Aspectos geométricos

A Figura 01 abaixo mostra o esquema comum de uma transmissão com duas polias de raios r1 e r2 e distantes C entre centros. Naturalmente, os diâmetros são D1 = 2 r1 e D2 = 2 r2.
Figura 1
O ângulo γ é dado por
sen γ = (r1 − r2) / C #A.1#.
O comprimento exato L da correia é calculado por

L = π D1 + 2 r1 γ + 2 C cos γ + π D2 − 2 r2 γ.

L = π (D1 + D2) + 2 (r1 − r2) γ + 2 C cos γ.

Substituindo (r1 − r2) por C sen γ conforme #A.1#,

L = π (D1 + D2) + 2 C (γ sen γ + cos γ) #B.1#.

Essa equação permite a determinação do comprimento da correia em função dos diâmetros das polias e distância entre centros. Se se deseja saber C para determinados diâmetros e comprimento L, deve-se usar um processo iterativo.
Figura 2
Uma fórmula aproximada também pode ser usada:

C ≈ { √ [ a2 − 2( D1 − D2 )2 ] + a } / 4 #C.1#.

Onde a = L − π (D1 + D2) / 2 #C.2#.

E os ângulos de contato são dados por φ1 = π + 2 γ e φ2 = π − 2 γ #D.1#.

Em tópicos anteriores, foi dado que a potência transmitida é função do ângulo de contato. Portanto, no conjunto, ela fica limitada pelo ângulo da polia menor (φ2).
Uma recomendação prática para correias é operar, sempre que possível, com o lado mais tenso na parte inferior conforme (a) da Figura 02. Com o uso, o comprimento tende a aumentar e, na posição contrária como em (b) da figura, o ângulo de contato é reduzido, o que favorece o deslizamento.
A distância C entre centros da polia é em geral definida pelo projeto do equipamento. Mas, se for possível, deve ser mantida próxima de 2D2 √ (D1/D2 + 1). Valores menores que D1 devem ser evitados. Outro critério encontrado em literatura é:

(D1 + D2)/2 + D2 para (D1/D2) < 3 e D1 para (D1/D2) ≥ 3.

Relação entre tensões


Em página anterior foi vista a relação entre força máxima (Fb), força mínima (Fa), força centrífuga (FC), coeficiente de atrito (μ) e ângulo de contato (φ) para um conjunto correia e polia:

(Fb - FC) / (Fa − FC) = eμφ #A.1#.

Pode-se substituir FC por ρ v2, onde ρ é a massa por unidade de comprimento do material da correia e v, a velocidade tangencial. Na realidade, essa relação significa uma situação no limite do deslizamento.
Figura 1
Para generalizar, substitui-se o sinal = por ≤ e a equação anterior (com a substituição de FC) fica
(Fb − ρ v2) / (Fa − ρ v2) ≤ eμφ #A.2#.
Considerando os demais parâmetros fixos, pode-se dizer que, em princípio, a correia deverá operar com valores de forças máxima e mínima (Fb e Fa) que satisfaçam a essa relação.
Teoricamente poder-se-ia ter, por exemplo, Fa = 0. Mas isso certamente provocaria o deslocamento da correia em relação à polia. Na prática, existem faixas de valores recomendados para a relação entre forças máxima e mínima (Fb/Fa), conforme gráfico na parte esquerda da Figura 01 deste tópico (os dados se referem a ângulos φ menores que 180º porque são para a polia menor, que é a limitante da situação conforme comentado na página anterior).
Obs: desde que a área da seção transversal de uma correia é constante, o valor (Fb/Fa) é igual à relação entre tensões e assim pode ser denominado.
Figura 2
Na prática, a relação entre esforços tem influência em outros parâmetros, que pode ser vista com o exemplo a seguir.
Por simplicidade, considera-se uma transmissão 1:1 e, portanto, com polias iguais e ângulo φ = 180º para ambas.
A figura 02 acima mostra 3 casos (a), (b) e (c), para os quais é suposto o mesmo torque a transmitir τ = 1 kN m. A força R (= Fa + Fb) é oposta à resultante de Fa e Fb e deverá ser a força suportada pelo mancal. Os casos (a) e (b) usam polias de mesmo diâmetro e o caso (d), de um diâmetro menor.

Situação: (a) (b) (c)
D (m) 0,50 0,50 0,25
Fb (kN) 5 10 10
Fa (kN) 1 6 2
Fb/Fa 5 1,67 5
R (kN) 6 16 12

Conforme já visto, o torque a transmitir é dado por

τ = (Fb − Fa) (D/2).

Desde que o torque é o mesmo para os três casos, uma vez fixado Fa, há um valor de Fb e um de Fb/Fa. E a tabela deste tópico dá os resultados para valores arbitrados de Fb.
Comparando (a) com (b), observa-se que, para transmitir o mesmo torque com polias de mesmo diâmetro, uma relação de tensões alta e dentro do recomendado (5) é melhor que uma relação baixa (1,67), resultando em menores esforços na correia e nos mancais. Notar entretanto que há limites: por simplicidade despreza-se a parcela da força centrífuga na igualdade #A.2#. Então a relação (Fb/Fa) é limitada por eμφ, isto é, pelo coeficiente de atrito e pelo ângulo de contato.
Comparando (a) com (c), nota-se que, para transmitir o mesmo torque com a mesma relação de tensões, a polia maior resulta em menores esforços na correia e nos mancais. Na prática, o tamanho das polias é limitado por fatores como custo, espaço ocupado e outros.

Esforços de flexão

Até agora tratou-se dos esforços Fb e Fa (máximo e mínimo) atuantes em cada lado da correia (23 e 14 no esquema da parte superior esquerda da Figura 01). Nas partes da correia em contato com as polias, há também forças provocadas pela flexão em torno das mesmas. Isso não invalida os cálculos anteriores para torque e potência porque esses esforços só atuam nas partes em contato com as polias. Assim , o torque transmitido só depende de Fb e Fa. Mas certamente influi na vida útil da correia porque, em determinados intervalos de tempo de cada volta completa, a tração efetiva torna-se maior que Fb.
Notar que essas considerações são aplicáveis a correias trapezoidais, que têm espessura significativa em relação à largura. No caso de correias planas, a espessura é em geral pequena em relação à largura e o efeito pode ser normalmente desprezado.
Supõe-se que o material da correia seja perfeitamente elástico. Isso não é rigorosamente verdadeiro na prática, mas a aproximação é considerada suficiente.
Segundo a Resistência dos Materiais, a tensão máxima transversal em uma barra, inicialmente retilínea e deformada por flexão, é dada por σ = u E / r. Onde E é o módulo de elasticidade do material, r é o raio de curvatura e u é a maior distância entre a linha que passa pelo centro de gravidade da seção e uma borda na direção do raio r.
Figura 1
Para um determinado tipo de correia (material e geometria da seção transversal), pode-se então dizer que a força devido à flexão é proporcional ao inverso do diâmetro:

Fflex = Kel / D #A.1#.

Portanto, Kel é um coeficiente elástico característico da correia, isto é, dependente do seu material e da sua seção transversal.
A Figura 01 exibe o gráfico dos esforços ao longo de uma volta completa da correia.
De 4 a 1, atua a força do lado frouxo Fmin (= Fa das fórmulas anteriores). Entre 1 e 2, a força aumenta gradativamente até Fmax (= Fb das fórmulas anteriores), mas com a adição da força devido à flexão em torno da polia 1 (Kel/D1). Entre 2 e 3 não há mais flexão e, portanto, a força é apenas Fmax. E, entre 3 e 4, ocorre a adição da força devido à flexão na polia 2 com redução até Fmin a partir do ponto 4.
Naturalmente, a força útil (a que transmite o troque) é dada por Fmax − Fmin ou Fb − Fa das fórmulas anteriores.
Pode-se então definir dois valores de forças equivalentes, correspondentes aos pontos 2 e 3 nas polias 1 e 2 respectivamente, que serão usados na avaliação da vida útil da correia:

Feq1 = Fmax + Kel/D1 Feq2 = Fmax + Kel/D2 #B.1#

Das igualdades #B.1# e #C.1# do tópico Potência transmitida, chega-se a Fmax = P/[v(1−e−μφ)] + ρv2, onde P é a potência transmitida, v a velocidade tangencial, μ coeficiente de atrito, φ ângulo de contato e ρ é a massa por comprimento. Substituindo nas anteriores,

Feq1 = P/[v(1−e−μφ)] + ρv2 + Kel/D1 Feq2 = P/[v(1−e−μφ)] + ρv2 + Kel/D2
#C.1#

Falha por fadiga

Do diagrama do tópico anterior, conclui-se que os esforços atuantes em uma correia em operação são cíclicos, atingindo os picos Feq1 e Feq2 em cada período. Isso significa (e a prática demonstra) que uma correia tende à ruptura por fadiga do material.
Considera-se uma variação exponencial para a falha:

N(F) = (K / F)m #A.1#. Onde:

N(F): número de ciclos até a ruptura sob ação de uma carga repetitiva F.
F: valor da carga repetitiva.
K, m: constantes da correia (K deve ter unidade de força e m é um número adimensional).

Considera-se também que as cargas atuantes são os valores de pico Feq1 e Feq2 vistos no tópico anterior. Notar que não se pode simplesmente somar esses valores e aplicar na fórmula dada porque eles atuam em pontos distintos do ciclo. Sejam então os valores:

N12: número de ciclos até a ruptura pela ação combinada de Feq1 e Feq2.
N1 = (K /Feq1)m. Número de ciclos até a falha pela ação isolada de Feq1.
N2 = (K /Feq2)m. Número de ciclos até a falha pela ação isolada de Feq2.

A relação entre esses valores é dada pela regra de Miner, que tem a seguinte expressão para este caso

N12/N1 + N12/N2 = 1. Ou N12 [ 1 / (K /Feq1)m + 1 / (K /Feq2)m ] = ( N12 / Km ) [ Feq1m + Feq1m ] = 1.

O tempo de um ciclo é L/v, onde L é o comprimento da correia e v, a velocidade tangencial. Assim, o tempo de vida útil da correia (Tu) antes da ruptura por fadiga é dado por Tu = N12 L/v. Ou N12 = Tu v / L.
Substituindo esse valor,

[ Feq1m + Feq1m ] = Km L / (v Tu).

E, com as igualdades do tópico anterior para as forças equivalentes, obtém-se a equação da vida útil da correia antes da ruptura por fadiga

{ P/[v(1-e−μφ)] + ρv2 + Kel/D1 }m + { P/[v(1-e−μφ)] + ρv2 + Kel/D2 }m = Km L / (v Tu) #A.1#.

Nas expressões entre chaves do lado esquerdo da igualdade, pode-se considerar a parcela P/[v(1−e−μφ)] uma medida da efetividade (não é eficiência) do conjunto. Ela representa a parte da vida útil efetivamente usada na transmissão de potência. As demais parcelas são decorrentes da força centrífuga e da flexão. Se essas são significativas, a efetividade é baixa, isto é, boa parte da vida útil não á consumida pela transmissão de potência.

Transmissão com motor pivotado

Na maioria dos conjuntos usuais de transmissão por correias, a distância entre as polias pode ser ajustada, por meio de parafusos ou outros dispositivos, de forma a proporcionar uma tensão inicial para a correia.
Figura 1
Entretanto, o comprimento das correias tende a aumentar com o uso, o que implica a necessidade de reajustes periódicos para prevenir o deslizamento.
O arranjo com motor pivotado é uma das formas de compensação para as pequenas variações de comprimento das correias. A Figura 01 ao lado dá o esquema simplificado.
O motor é montado em uma base que pode girar em torno do pivô P. Assim, no eixo da polia motora (2, para manter a convenção das páginas anteriores), há sempre uma carga vertical para baixo M, resultante dos pesos do motor, da polia e da base. Eventualmente, uma mola pode ser usada quando os pesos mencionados não são suficientes.
O objetivo deste tópico é a análise das tensões e potência transmitida considerando, além dos parâmetros usuais, a carga M na polia motora, as distâncias H e V entre esta última e o pivô e a posição da polia movida (1).
Figura 2
Em escala ampliada, a geometria básica pode ser vista na Figura 02. O ângulo θ é tomado entre a horizontal e a linha que une os centros das duas polias, ou seja, indica a posição angular da polia movida 1 no conjunto.
O ângulo γ é definido pelos raios e distâncias entre centros das polias. Ver tópico Aspectos geométricos.
A análise trigonométrica leva às igualdades

a = H sen (θ + γ) + V cos (θ + γ) + r2 #A.1#.
b = H sen (θ − γ) + V cos (θ − γ) − r2 #A.2#.

Consideramos agora um sistema formado por polia, motor e base, representado (sem semelhança física) pela parte sombreada da Figura 03. Nesse sistema, as forças externas atuantes são os esforços da correia (Fa e Fb), o peso do conjunto M e as reações do pivô, Px e Py.
Figura 3
Mas o conjunto não é estático. Num intervalo de tempo infinitesimal dt, uma porção de massa da correia dm entra com velocidade v e outra idêntica sai com velocidade v (as velocidades são iguais apenas em intensidade. Como vetores, são diferentes conforme indicado).
A variação do momento angular em relação ao tempo deve ser igual ao torque aplicado, que são tomados em relação ao pivô P:

[ dm v a − (− dm v b) ] / dt = a Fa + b Fb − H M.

Durante um intervalo dt, a correia percorre um comprimento v dt. Multiplicando por ρ (massa por comprimento), deve-se obter dm.
dm = ρ v dt. Substituindo na igualdade anterior e simplificando,

(Fb − ρ v2) b + (Fa − ρ v2) a = H M #B.1#.

Em página anterior, foi vista a formulação básica para o atrito (Fb − ρ v2) / (Fa − ρ v2) ≤ eμφ, que, evidentemente, também deve ser obedecida. Se usado sinal de igualdade para esta última, as duas forças Fa e Fb ficam perfeitamente determinadas com o conjunto de equações, significando a condição de máxima potência que pode ser transmitia pela transmissão pivotada.

Correias planas versus correias em V

No início da era industrial, as correias planas eram extensivamente usadas. Isso pode ser bem visto, por exemplo, em fotografias de antigas linhas de produção, nas quais um único eixo transmitia movimentos, via correias planas, para vários dispositivos ao longo da linha.
O material dessas primeiras correias era quase sempre o couro, para o qual se considerava um coeficiente de atrito de 0,32 com polias de ferro fundido. Alguns outros dados relacionados são: massa específica do couro ≈ 0,035 lb/in³; tensão da correia em repouso ≈ 172 psi; largura da polia não maior que 150% do diâmetro; velocidade recomendada ≈ 4250 ft/min.
Por volta da década de 1930, as correias trapezoidais (ou V) passaram a substituir as planas na maioria dos acionamentos. A vantagem básica já foi discutida no tópico Atrito para correia de seção trapezoidal.
O efeito de cunha da correia na polia multiplica o coeficiente de atrito pelo inverso do seno do ângulo de inclinação da face lateral. O resultado é um significativo ganho de capacidade, proporcionando conjuntos mais compactos, com menor nível de ruído e menores cargas nos mancais, se comparado com as correias planas.
Entretanto, as correias trapezoidais não têm só vantagens. Há também, em relação às planas, alguns aspectos negativos que, evidentemente, não chegam a comprometer o uso na maioria dos casos. A seguir, algumas dessas desvantagens.

• Correias trapezoidais são quase sempre fornecidas em comprimentos padronizados. O material das correias planas pode ser fornecido em rolos e elas podem ser fabricadas no local em qualquer comprimento.
• O aumento de comprimento com o uso das correias em V é normalmente maior que o das planas.
• Alinhamento das polias é mais crítico no caso de correias trapezoidais.
• O efeito da força centrífuga (tendência de afastar a correia da polia) é mais pronunciado na trapezoidal devido à maior espessura. É um fator limitante para velocidade.
• Também devido à maior espessura, o efeito da flexão é mais pronunciado nas correias trapezoidais.

Por esses e outros motivos, as correias planas ainda são usadas em alguns casos, em especial para elevadas velocidades de operação.

Seleção de correias - Introdução

Conforme pode ser visto em páginas anteriores, a operação de uma correia é dependente de uma série de parâmetros e as equações não formam um sistema de uma única solução. Na realidade, a mesma utilização pode ser atendida por diferentes combinações de número de correias, diâmetros de polias e outros. Portanto, o processo de escolha de uma correia para determinada aplicação envolve normalmente a análise de diversas soluções e a melhor opção é em geral um equilíbrio entre características conflitantes, como durabilidade da correia, custo das polias, espaço físico, etc.
Alguns fabricantes de correias oferecem softwares próprios e o processo de seleção fica bastante simples e rápido. Nesta página são apresentadas algumas tabelas para ajudar a seleção de correias trapezoidais por meio das fórmulas e outros critérios comentados em páginas anteriores.

Fatores de serviço

O parâmetro básico, ou seja, o ponto de partida para a seleção de correias é normalmente a potência a transmitir. É um dado em geral definido pelo projeto do equipamento. Mas a potência prevista deve ser multiplicada por um fator de serviço de forma a proporcionar uma reserva para esforços na partida e outras imprevisibilidades. A tabela a seguir dá valores usuais para algumas aplicações.

Partida suave (estrela / triângulo), acionamentos hidráulicos, motores de pistão com mais de 4 cilindros, etc. Partida direta de motor elétrico, motores alternativos com menos de 4 cilindros ou condições similares.
Agitadores e misturadores em meios homogêneos, bombas e compressores centrífugos, transportadores de correia c/ cargas distribuídas, ventiladores e similares até 75 kW.
1,0
1,1
Agitadores e misturadores em meios não homogêneos, árvores de transmissão, bombas e compressores de rotativos, equipamentos gráficos, geradores elétricos, máquinas operatrizes, máquinas para madeira, peneiras rotativas, transportadores de correia com cargas localizadas, ventiladores e similares acima de 75 kW.
1,2
1,2
Bombas e compressores alternativos, elevadores, máquinas para borracha, cerâmica ou têxteis, moinhos de martelo, peneiras vibratórias, prensas e guilhotinas, pulverizadores, transportadores para serviço pesado.
1,2
1,4
Britadores e trituradores, moinhos de cilindros, esferas ou rolos.
1,3
1,5




Gráficos de capacidades


Correias trapezoidais são fornecidas sob uma série de seções e comprimentos padronizados, que podem ser vistas em catálogos de fabricantes.
Figura 1
Naturalmente, para efeito de potência transmitida e considerando o mesmo material, o parâmetro determinante é a seção transversal.
A Figura 01 ao lado dá informações para as seções padronizadas A, B, C e D, que são as mais usadas na prática.
No eixo horizontal, os valores de rotação se referem à polia menor.
O valor de potência em kW deve ser a potência de projeto multiplicada pelo fator de serviço do tópico anterior.
Figura 2
A Figura 02 apresenta dados para perfis da série SP, mais compactos que os da série anterior.
Outros tipos podem ser verificados em catálogos de fabricantes.
É comum a opção por várias correias em paralelo. Neste caso, evidentemente, a potência calculada deve ser dividida pelo número delas.

Propriedades de correias trapezoidais

Tabela para seções A, B, C e D:

Símbolo Unidade Seção A Seção B Seção C Seção D
K N 3216 5535 9842 20080
Kel N m 23,9 62,7 174,4 618,5
Lref m 1,717 2,266 3,653 6,112
m - 11,11 11,11 11,11 11,11
μ / sen β - 0,512 0,512 0,512 0,512
ρ kg/m 0,0968 0,167 0,296 0,604
Idem, para seções SPZ, SPA, SPB e SPC:

Símbolo Unidade Seção SPZ Seção SPA Seção SPB Seção SPC
K N 3730 6235 9057 16585
Kel N m 34,0 87,5 182,0 555,1
Lref m 1,592 2,278 3,204 5,070
m - 12,8 13,0 13,4 13,8
μ / sen β - 0,512 0,512 0,512 0,512
ρ kg/m 0,0728 0,129 0,204 0,412

Os símbolos referem-se a grandezas características usadas nas fórmulas apresentadas em páginas anteriores desta série.

Tempos de vida útil usuais para correias

Aplicação Equipamentos / condições de operação Tempo em 10³ horas
Agrícola Estacionários, operação contínua 6 a 12
Estacionários, operação intermitente 2 a 6
Móveis (máquinas de colheita, etc) 0,5 a 1
Automotiva Automóveis e utilitários 1 a 3
Caminhões, ônibus, tratores 5 a 10
Doméstica Ar condicionado, ventilação 5 a 10
Ferramentas manuais, máquinas de costura 0,2 a 1
Máquinas de lavar, secadoras 1,5 a 2
Industrial Operação contínua 12 a 25
Operação intermitente 6 a 12
Escritório, ferramentas manuais 8 a 20

Exemplo de cálculo I

No diagrama (sem escala) da Figura 01, supõe-se que a polia menor (2) pertence a motor elétrico de partida direta e 1750 rpm, que aciona um triturador na polia maior (1). A potência prevista do triturador é 11,2 kW e a rotação 1270 rpm. Selecionar correia e polias e analisar os resultados.
Do tópico Fatores de serviço, nota-se que, para essa aplicação, o valor deve ser 1,5. Assim, a potência de projeto a considerar é P = 11,2 x 1,5 ≈ 16,8 kW.
Arbitra-se um diâmetro de 380 mm para a polia maior

D1 = 0,38 m.

As rotações são

n1 = 1270 rpm e n2 = 1750 rpm.

Assim, de acordo com #A.2# do tópico Relações básicas,

1270 / 1750 = D2 / 0,38. Ou D2 ≈ 0,276 m.

Conforme Figura 01 do tópico Gráficos de capacidades, pode-se, em princípio, usar uma única correia de perfil B (outra opção, por exemplo, é a metade da potência e duas correias tipo A). Escolhe-se um comprimento padronizado em catálogos de fabricantes. Por exemplo, L = 2,51 m. Com isso, calcula-se a distância entre centros de acordo com a fórmula #C.1# do tópico Aspectos geométricos:

C ≈ { √ [ a2 − 2( D1 − D2 )2 ] + a } / 4, onde a = L − π (D1 + D2) / 2.

Assim, a = 2,51 − π (0,38 + 0,276) ≈ 1,48.
Figura 1
C ≈ { √ [ 1,482 − 2( 0,38 − 0,276)2 ] + 1,48 } / 4 ≈ 0,738 m
(se essa distância for inadequada, pode-se escolher um outro comprimento L).

O ângulo γ é dado por #A.1# do mesmo tópico: sen γ = (r1 − r2) / C.

sen γ = [ 0,38/2 − 0,276/2 ] / 0,738 ≈ 0,0705 ou γ ≈ 4º ou 0,0698 rad.

E o ângulo de contato da polia menor é dado por #D.1# do tópico mencionado

φ2 = π − 2 γ ≈ 172º ou 3,002 rad.

Do tópico Relação entre tensões, #A.2#,

(Fb − ρ v2) / (Fa − ρ v2) ≤ eμφ 
(torna-se igualdade na condição de maior potência possível de ser transmitida).

Para o seu uso, precisa-se calcular e/ou encontrar mais parâmetros.

ρ = 0,167 kg/m conforme tópico Propriedades de correias trapezoidais.

v = ω2 r2 (ou ω1 r1) = (1750 π/30) (0,276/2) ≈ 25,3 m/s.

Portanto,ρ v2 = 0,167 25,32 ≈ 107 N (parcela de força centrífuga).

O coeficiente de atrito μ deve ser considerado μ / sen β porque se trata de correia trapezoidal (ver Atrito para correia de seção trapezoidal) e o valor é dado em Propriedades de correias trapezoidais: 0,512. Portanto,

eμφ ≈ 2,7180,512 3,002 ≈ 2,7181,537 ≈ 4,65.

Assim, (Fb − 107) / (Fa − 107) = 4,65
(embora a igualdade só seja rigorosamente válida na condição de maior potência possível - iminência do deslizamento - pode-se considerar a aproximação válida para carga parcial). 

Da relação simples de potência mecânica

P = F v = (Fb − Fa) v.

Ou 16800 = (Fb − Fa) 25,3.

Ou Fa = Fb − 664.

Substituindo na anterior,

(Fb − 107) / (Fb − 664 − 107) = 4,65. Ou Fb ≈ 953 N e Fa ≈ 289 N.

Do tópico Falha por fadiga, #A.1#, obtém-se a equação da vida útil da correia

{ P/[v(1−e−μφ)] + ρv2 + Kel/D1 }m + { P/[v(1−e−μφ)] + ρv2 + Kel/D2 }m = Km L / (v  Tu).

Determinam-se os parâmetros necessários:

v ≈ 25,3 m/s conforme já calculado.

(1−e−μφ) = 1 − 1 / eμφ = 1 − 1 / 4,65 ≈ 0,785.

ρ v2 ≈ 107 N conforme já calculado.

Kel = 62,7 N m, K = 5535 N e m = 11,11 conforme Propriedades de correias trapezoidais.

D1 = 0,38 m e D2 = 0,276 m conforme cálculos iniciais. L = 2,51 m de acordo com premissa anterior. E P = 16800 W.

[16800/(25,3 0,785) + 107 + 62,7/0,38 ]11,11 + [16800/(25,3 0,785) + 107 + 62,7/0,276 ]11,11 = 553511,11 2,51 / (25,3 Tu).

2,51/(25,3 Tu) = {[16800/(25,3 0,785) + 107 + 62,7/0,38 ]/5535}11,11 + {[16800/(25,3 0,785) + 107 + 62,7/0,276 ]/5535}11,11.

2,51/(25,3 Tu) ≈ 5,377 10−8. Tu = 1820386 s ≈ 506 h.

O resultado é insuficiente para equipamentos de uso industrial segundo tabela no início desta página. Pode-se então supor 2 correias do mesmo tipo em paralelo. Para o cálculo, basta considerar metade da potência (16800/2) na equação acima. Com isso, chega-se ao resultado de aproximadamente 78000 h. O valor agora é um tanto exagerado e uma solução possivelmente mais econômica pode ser analisada com duas correias de perfil A. Outros diâmetros de polias também podem ser avaliados.
Todos esses cálculos podem ser facilmente implementados em uma planilha tipo Excel ou similar, de forma a permitir a rápida visualização dos resultados com as opções que forem consideradas.

Formulação usual da capacidade

Voltando agora à equação da vida útil do tópico Falha por fadiga, #A.1#,

{ P/[v(1−e−μφ)] + ρv2 + Kel/D1 }m + { P/[v(1−e−μφ)] + ρv2 + Kel/D2 }m = Km L / (v  Tu).

Para o caso particular de uma transmissão 1:1, D1 = D2 = D e φ = π (180º). E a equação acima fica simplificada:

{ P/[v(1−e−μπ)] + ρv2 + Kel/D }m = Km L / (2 v  Tu).

Elevando ambos os lados a 1/m,

P/[v(1−e−μπ)] + ρv2 + Kel/D = K [L/(2vTu)]1/m.

Desde que o expoente m é grande, pode-se usar a aproximação matemática
x1/m ≈ 1 + (1/m) ln x.

Ou seja, [ L /(2v Tu)]1/m ≈ 1 + (1/m) ln L /(2vTu) = 1 + (1/m) ln L /(2Tu) − (1/m) ln v.

P/[v(1−e−μπ)] + ρv2 + Kel/D = K + K (1/m) ln L /(2 Tu) − K (1/m) ln v.

P = v { (1−e−μπ) K + (1−e−μπ) K (1/m) ln L /(2 Tu) − (1−e−μπ) Kel/D − (1−e−μπ) ρv2 − (1−e−μπ) K (1/m) ln v } #A.1#.

Observar, portanto, que a potência que uma correia pode transmitir depende de parâmetros diversos, alguns característicos do material e do perfil e outros, das condições de operação. Alguns fabricantes consideram os seguintes valores ou condições de referência para definição de capacidade das correias: 

• Transmissão 1:1 (portanto, D1 = D2 = D e φ = π conforme já visto).
• Tempo de vida de 26000 horas.
• Um comprimento de referência Lref (ver Propriedades de correias trapezoidais).

Assim, para um determinado tipo de correia, esses valores podem ser considerados constantes e a equação anterior fica

P = v [ C1 − C2/D − C3/v2 − C4 ln v ] #B.1#.

Essa fórmula foi (ou ainda é) usada por fabricantes, com as constantes dadas em forma de tabelas para cada tipo de correia. Há também fatores de correção para ângulos de contato diferentes de π e comprimentos diferentes dos de referência.

fonte: http://www.mspc.eng.br/ndx_tecdiv0.shtml

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