Engrenagens: a força e a velocidade sob domínio absoluto

“Dê-me uma alavanca e um ponto de apoio e eu moverei o mundo”

 ^{Arquimedes (c.287-212 AC)}

O princípio da multiplicação de forças em uma alavanca mostra que, se o sistema estiver em equilíbrio, o comprimento do braço x força é constante para os dois lados, ou seja, P1xL1 = P2xL2, deste modo ao menos teoricamente, com um braço suficientemente comprido, podemos levantar qualquer peso, por maior que seja.

A diferença entre os comprimentos dos braços da alavanca é a sua relação, no exemplo da figura, a relação é de 2:1 porque o braço da direita tem duas vezes o comprimento do braço da esquerda.

Supondo que o peso no prato seja de 600 N, a força necessária para colocar o sistema em equilíbrio será de:

 Dados: L2 = 2 x L1; P1 = 600 N

L1 x 600 = L2 x F1                  =>        L1 x 600 = 2 x L1 x F1

F1 = (L1 x 600) / (2 x L1)        =>        F1 = (600 / 2) = 300 N

Outro ponto interessante neste sistema é que o deslocamento angular da alavanca é único, portanto o curso periférico, nas extremidades dos braços, também é proporcional à relação de comprimento entre eles. Equivale dizer que o braço da direita terá um movimento duas vezes mais amplo que o braço da esquerda para entrar em equilíbrio, a partir do repouso.

  Do ponto de vista do apoio central da alavanca, o que está atuando não é força propriamente dita, mas momento fletor, que é o produto do comprimento do braço pela força aplicada a ele.  

Momento fletor = força x distância

As unidades mais utilizadas para representar o momento fletor são:

N para força; m para distância e N x m para o momento – SI

kgf para força; m para distância e kgf x m para o momento – MKS*

lb para força; pé para distância e libra-pé para o momento – SE

N: Newton; m: metro; kgf: quilograma força; lb: libra força; pé: comprimento correspondente a 12 polegadas

SI – Sistema Internacional de unidades (sistema oficial atual)

MKS* - MKS técnico, em desuso, porém o kgf ainda é muito citado

SE – Sistema inglês, não oficial, mas ainda muito utilizado - ^(*2)

O mesmo princípio de multiplicação de forças aplicado às alavancas também se aplica às engrenagens, como veremos a seguir.

As engrenagens não transmitem momento fletor, transmitem torque, que possui a mesma definição de momento fletor e mesmas unidades, porém, com movimento no sentido de giro, como quando apertamos um parafuso com auxílio de uma chave de fenda:

Torque = força x distância

Imagine duas engrenagens em movimento. Uma das engrenagens fornece a rotação e a força necessária para mover a outra. Essa engrenagem recebe o nome de Engrenagem Motora. A outra engrenagem recebe o nome de Engrenagem Movida.

Considere agora que existe um braço de alavanca a partir do centro de cada engrenagem até o ponto de contato dos dentes, como mostram as figuras.

Podemos então definir relação de transmissão como sendo a razão entre o comprimento desses dois braços, tendo como denominador o comprimento do braço da engrenagem motora:

Rt = L Eng. Movida / L Eng. Motora

Onde:

Rt: relação de transmissão.

L eng. Movida = Raio do Diâmetro Primitivo da engrenagem movida.

L eng. Motora = Raio do Diâmetro Primitivo da engrenagem motora.

Conhecendo a relação de transmissão de um par de engrenagens podemos conhecer o seu comportamento quanto a sua velocidade e transmissão de torque através das equações:

Torque Eng. Movida  = torque Eng. Motora  x Rt

rpm Eng. Movida  = rpm Eng. Motora  / Rt

Onde:

rpm = rotações por minuto.

Rt = relação de transmissão.

No nosso exemplo, se a engrenagem motora for a menor, admitindo-se

Rt = 3.5

rpm motora = 35

torque motora = 120 Nm, teremos:

rpm na Eng. Movida (maior) = 35 / 3.5 => 10 rpm

torque na Eng. Movida = 120 x 3.5 => 420 Nm

Para cada três voltas e meia obtidas na engrenagem motora (menor), a engrenagem movida terá dado apenas uma volta, em compensação, para cada Nm de torque fornecido pela engrenagem menor, teremos 3.5 Nm transmitido pela engrenagem maior.

Esse exemplo mostra como obter mais força utilizando engrenagens, mas muitas vezes, ao invés de mais força, necessitamos de mais velocidade. Nesse caso, considere que a engrenagem motora seja a engrenagem maior. A relação de transmissão passa a ser 1: 3.5 (leia um para três e meio). Utilizando o mesmo raciocínio, teremos a transmissão de menos torque, por outro lado, para cada volta na engrenagem motora (maior), teremos 3.5 voltas na engrenagem movida (menor). Considerando-se os mesmos dados do exemplo anterior, temos:

Rt = 1: 3.5

rpm motora = 35

torque motora = 120 Nm

rpm na Eng. Movida (menor) =  35 / (1/3.5) => 35 x 3.5 =>  122.5 rpm

torque na Eng. Movida = 120 x (1/3.5) => 120 / 3.5 => 34.28 Nm

Fonte: knol